Pembuktian Volume Frustum
Dalam geometri, Frustum adalah Perpotongan Kerucut atau Limas yang berada pada dua bidang sejajar, Berikut contoh gambarya :
$ V= \frac{1}{3} \big[ \big(A_{1}+ \sqrt{A_{1}A_{2}} \big)h+A_{2}h \big] $
Bagian yang diarsirlah yang disebut Frustum. okee, lanjuttt, untuk menghitung volume Frustum menggunakan Rumus sebagai berikut :
$ V= \frac{h}{3} \big(A_1+A_2+ \sqrt{A_1A_2} \big) $
Keterangan :
h = Jarak tegak lurus antara A1 dan A2 (disebut juga Tinggi Frustum)
A1 = Luas Alas Bawah (Alas Kerucut / Limas Besar)
A2 = Luas Alas Atas (Alas kerucut / Limas Kecil)
Ko Bisa dapet Rumus kaya gitu ? Gimana Dapetnya ? ...
Berikut adalah penurunan rumus untuk Volume sebuah Frustum :
$ V_1= \frac{1}{3}A_1y $
$ V_2= \frac{1}{3} A_2 \big(y-h\big) $
$ V_2= \frac{1}{3} A_2 \big(y-h\big) $
Jadi, Untuk mencari Volume Frustum :
$ V=V_1 - V_2 = \frac{1}{3}A_1y- \frac{1}{3}A_2 \big(y-h\big) $
$ V= \frac{1}{3}A_1y- \frac{1}{3}A_2y- \frac{1}{3}A_2h $
$ V= \frac{1}{3} \big( \big(A_1-A_2\big)y+A_2h \big) \Longleftrightarrow Persamaan 1 $
$ V=V_1 - V_2 = \frac{1}{3}A_1y- \frac{1}{3}A_2 \big(y-h\big) $
$ V= \frac{1}{3}A_1y- \frac{1}{3}A_2y- \frac{1}{3}A_2h $
$ V= \frac{1}{3} \big( \big(A_1-A_2\big)y+A_2h \big) \Longleftrightarrow Persamaan 1 $
By Similar Solids :
$ \frac{A_2}{A_1}= \big( \frac{y-h}{y} \big)^2 $
$ \sqrt{ \frac{A_2}{A_1} }=1- \frac{h}{y} $
$ \frac{h}{y}= \frac{ \sqrt{A_1 }- \sqrt{A_2} }{A_1} $
$ y= \frac{ \sqrt{ A_{1} } }{ \sqrt{A_{1}}-\sqrt{A_{2}} }h $
$ \frac{A_2}{A_1}= \big( \frac{y-h}{y} \big)^2 $
$ \sqrt{ \frac{A_2}{A_1} }=1- \frac{h}{y} $
$ \frac{h}{y}= \frac{ \sqrt{A_1 }- \sqrt{A_2} }{A_1} $
$ y= \frac{ \sqrt{ A_{1} } }{ \sqrt{A_{1}}-\sqrt{A_{2}} }h $
Setelah dirasionalisasikan, maka menjadi :
$ y= \frac{ \sqrt{A_1}+ \sqrt{A_1A_2} }{A_1-A_2}h $
$ y= \frac{ \sqrt{A_1}+ \sqrt{A_1A_2} }{A_1-A_2}h $
Subtitusi ke persamaan 1
$ V= \frac{1}{3} \big( \big(A_{1}+A_{2}\big) \big( \frac{A_{1}+ \sqrt{A_{1}A_{2}} }{A_{1}-A{2}} \big)+A_{2}h \big) $
$ V= \frac{1}{3} \big( \big(A_{1}+A_{2}\big) \big( \frac{A_{1}+ \sqrt{A_{1}A_{2}} }{A_{1}-A{2}} \big)+A_{2}h \big) $
$ V= \frac{1}{3} \big[ A_{1}+ \sqrt{A_{1}A_{2}}+A_{2} \big]h $
Insert code: <i rel="code">Put code here</i> or <i rel="pre">Put code here</i>
Insert image: <i rel="image">Put Url/Link here</i>
Insert title: <b rel="h3">Your title.</b>
Insert blockquote: <b rel="quote">Put text here</b>
Bold font: <b>Put text here</b>
Italics: <i>Put text here</i>
5 Komentar
Ku orangnyy Suk Matematika..
BalasHapusbLajar ahh..
asik belajar juga ah,,udah banyak yang lupa nih..
BalasHapusmakasih sobat
beeeh kagak ada matinya lo ji....
BalasHapusmantab....
cal.ust. Abdurrahman
Source of drawing: http://www.mathalino.com/reviewer/derivation-of-formulas/derivation-of-formula-for-volume-of-a-frustum
BalasHapusmakasih gan rumusnya
BalasHapus